SOLIDOS DE REVOLUCION

SOLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

BREVE INTRODUCCIÓN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Solidos de revolucion from henrry96

FORMULAS Y MÉTODOS :

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos

El volumen de los sólidos generados por revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.

[editar]Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

$V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx$

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

$V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$ método de discos.

[editar]Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

$V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx$

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

$V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx$ Método de cilindros o capas.

1. MÉTODO DE DISCO:

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco =

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Fórmula del volumen por discos
Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene
que:

si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

2. METODO DE LA ARANDELA.

Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura: